2022. 6. 8. 23:58ㆍ카테고리 없음
혼합랜덤변수
랜덤변수의 개수나 영역에 따라 위와 같이 바뀔 수 있다.
결합누적분포함수 joint CDF
joint CDF는 계산을 위해 많이 사용되지는 않는다. 오히려 joint PDF가 더 많이 사용된다.
정의 5.3)
- u와 v로 치환하여 값을 구한다.
정의 5.3으로부터 다음 정리를 도출할 수 있다.
이전에 변수 하나에 대한 pdf와 동일한 내용이다.
- 앞으로 사용하게될 계산 문제에서 범용적으로 적용하게 되는 문제이다.
예제)
랜덤변수 2개부터는 3차원을 그리기 어려우니 함수의 아웃풋을 그래프 평면 상에 그리는 것이 아닌 입력 x, y를 그래프로 그려 이를 표현한다.
이는 아래와 같은 영역이 생긴다.
예제)
CDF를 구하는 것이 문제에서 도출하고자하는 값이기 때문에 구간을 나눠서 이를 구해볼 수 있다.
1. x와 y가 모두 1보다 큰 경우
2. x가 0보다 작거나, y가 0보다 작은 경우에는 CDF의 값이 0이다. 이때 조건은 OR이다.
3. y는 0보다 크거나 같고, x는 0보다 크거나 같고, 1보다 작거나 같은 경우
- x는 0과 1 사이이므로 y가 x보다 큰 경우에는 삼각형의 파란색 영역이 포함된다.
4. 파란색 영역으로 0 <= y<= x<= 1인 구간
- x는 1보다 크고, y는 0과 1 사이에 있는 경우
- v는 0부터 y까지 적분하고, 하나의 v에 대해서는 u의 범위는 v부터 1까지 적분해야한다.
예제)
- joint pdf에 marginal이라는 정보가 있다.
증명 유도)
- 어떤 영역 A에 대해 joint pdf 적분하는 것과 같다.
예제)
- 적분 구간을 y가 존재하는 구간으로 바꿔야한다.
각각의 Function of RV의 합의 기대치는 각 Function of RV의 기대치 합과 동일하다.
예시)
예시)
Function of RV 합의 분산
- 분산이 늘어날수도 있고, 줄수도 있다.
공분산
- x가 x의 평균보다 큰 값을 가지는 경우 y가 y의 평균보다 큰 값을 가지는 경우에는 Cov[x, y]가 양의 값을 가진다. 반대로 둘 다 평균보다 작은 값을 가진다면 Cov[x, y]가 양의 값을 가진다. 즉, x와 y가 같은 방향으로 움직인다면 Cov는 양수이다.
- x와 y가 다른 방향으로 움직인다면 Cov는 음수이다.
- 또한 Cov는 x, y가 평균보다 얼마나 퍼져있는 지에 대한 정보도 포함되어있다.
- -1과 1 사이의 값만 가지고 x와 y의 비례/반비례 관계에 대한 정보를 가지고 있다.
Correlation codfficient와 covariance의 특징
- 직선형태의 관계를 가질 때 -1이나 1의 값이 나온다.
correlation이란?
- correlation이라고 한다.
예제)
correlation
독립
예제)
- fx와 fy를 곱하면 4xy이다.
- 3번은 랜덤변수 x, y가 서로 독립이면 x, y는 상관성이 없다는 의미이다.
i) 증명
예제)
- 원래는 6개 모두 체크해야하지만 독립인 조건을 바로 만족시키지 않는다. 이에 따라 독립이 아니다.
- 독립은 아니지만 상관성은 없다.
- 5개의 파라미터가 존재한다.
조건부 CDF
- 사건 b가 발생했을 때 랜덤변수 x가 실수값 x보다 작거나 같을 확률
조건부 PMF
- 사건 b가 발생했을 때 랜덤변수 x가 실수값 x와 같을 확률
예제)
예제)
예제)
이산/연속 랜덤 변수에 대해 사건 B가 발생했을 때 C가 발생할 확률(조건부 확률)
파티션을 이루는 B의 기대값
- 직관적으로 많이 사용한다.
- 이전에 배웠던 내용과 크게 다를 바 없다.
Joint PMF
예제)
예제)
- 고정 상수이기에 면적을 곱해 이를 구할 수 있다.
- 아래 세 가지의 조건을 가지고 있어야한다.
Function of two variable에 대한 조건부 기대치
예제) Function of two variable에 대한 기대치
x = 4 - y이기에 이와 같이 아래와 같이 쓸 수 있다.
- 부등호가 아닌 명확히 값이 정해져 있는 경우
- 랜덤변수 y가 실수값 y의 값을 가질 경우
- 랜덤변수 y가 실수 값 y를 가질 때의 조건부 pmf이다.
