백준 온라인 저널, 그리디 알고리즘, 자료 구조, 우선순위 큐/1715번 : 카드 정렬하기(파이썬) / 골드 문제

문제 정의

정렬된 두 묶음의 숫자 카드가 있다고 하자. 각 묶음의 카드의 수를 A, B라 하면 보통 두 묶음을 합쳐서 하나로 만드는 데에는 A+B 번의 비교를 해야 한다. 이를테면, 20장의 숫자 카드 묶음과 30장의 숫자 카드 묶음을 합치려면 50번의 비교가 필요하다.

 

매우 많은 숫자 카드 묶음이 책상 위에 놓여 있다. 이들을 두 묶음씩 골라 서로 합쳐나간다면, 고르는 순서에 따라서 비교 횟수가 매우 달라진다. 예를 들어 10장, 20장, 40장의 묶음이 있다면 10장과 20장을 합친 뒤, 합친 30장 묶음과 40장을 합친다면 (10 + 20) + (30 + 40) = 100번의 비교가 필요하다. 그러나 10장과 40장을 합친 뒤, 합친 50장 묶음과 20장을 합친다면 (10 + 40) + (50 + 20) = 120 번의 비교가 필요하므로 덜 효율적인 방법이다.

 

N개의 숫자 카드 묶음의 각각의 크기가 주어질 때, 최소한 몇 번의 비교가 필요한지를 구하는 프로그램을 작성하시오.

 

 

입력

첫째 줄에 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000) 이어서 N개의 줄에 걸쳐 숫자 카드 묶음의 각각의 크기가 주어진다. 숫자 카드 묶음의 크기는 1,000보다 작거나 같은 양의 정수이다.

 

 

출력

첫째 줄에 최소 비교 횟수를 출력한다.

 

 

예제 입력 1

3
10
20
40

예제 출력 1

100

- 우선 순위 큐의 경우 일반적으로 리스트를 이용해서 구현하거나 힙을 이용해서 구현하는 경우가 있다.

1. 리스트를 이용해 구현하는 경우

- 삽입 시간 : O(1) (append의 경우 / insert는 O(N)의 시간이 소요된다.)

- 삭제 시간 : O(N)

2. 힙을 이용해 구현하는 경우

- 삽입 시간 : O(logN)

- 삭제 시간 : O(logN)

cf) 힙은 이진 트리를 이용해서 구현하기때문에 삽입과 삭제 모두 최대 logN만큼의 시간이 소요된다.

 

- 입력될 수 있는 N의 개수가 최대 100,000개이다.

    * 리스트를 사용하게될 경우 내림차순으로 정렬을 한 뒤, 리스트의 마지막 값과 그 전 값을 뽑은 뒤, 더하고 정렬된 리스트에 정렬을 유지하도록 삽입하면 된다. (더한 값에 대해 삽입 정렬 사용) 이때 한번의 로테이션을 도는 동안 소요되는 시간 복잡도는 최대 O(N)이다.

import sys

n = int(sys.stdin.readline())
num_list = [int(sys.stdin.readline()) for _ in range(n)]
num_list.sort(reverse=True)
result = 0


while True:
    check = False
    if len(num_list) == 1:
        break
    x1 = num_list.pop()
    x2 = num_list.pop()
    result += x1 + x2
    length = len(num_list)
    for i in range(length-1, 0, -1):
        if x1+x2 > num_list[i]:
            check = True
        elif check and x1+x2 < num_list[i]:
            num_list.insert(i, x1+x2)

    if check == True and length == len(num_list):
        num_list.insert(0, x1+x2)
    elif check == False and length == len(num_list):
        num_list.append(x1+x2)
    

print(result)

<시간 초과한 코드 내용>

 

    * 힙을 사용하게 될 경우 삽입과 삭제는 언제나 logN의 시간이 소요된다. 한번의 로테이션을 돌기 위해서 두번의 삭제와 한번의 삽입을 진행하므로 시간 복잡도는 O(logN)이다. (최대 차항의 계수 생략)

- 따라서 힙을 사용하는 것이 훨씬 효율적이다.

 

 

접근 방법

1. min-heap으로 우선순위 큐를 구현한다.

2. 최솟값을 두 번 뽑아 이를 더하고 삽입한다.

3. 힙의 원소가 1개가 될 때까지 이를 반복한다.

 

 

코드

import sys
import heapq

n = int(sys.stdin.readline())
q = []
for _ in range(n):
    heapq.heappush(q, int(sys.stdin.readline()))

result = 0

while True:
    if len(q) == 1:
        break
    x1 = heapq.heappop(q)
    x2 = heapq.heappop(q)
    result += x1+x2
    heapq.heappush(q, x1+x2)
    
print(result)

 

 

- 해당 문제는 시간복잡도를 고려해 문제를 해결한다면 쉽게 해결할 수 있다. 하지만 처음에 시도할 때는 우선순위 큐에 대한 지식이 없었고, 우선 순위 큐에 대해 배우고 난 뒤에 시간복잡도에 대해 이해하고 문제를 접근하니 비교적 쉽게 해결할 수 있었다.

- 입력에 관해서 입력의 개수가 많아질 경우 경우의 수를 고려해 최대한 줄일 수 있는 방향으로 하는 것이 골드 이상의 문제에서 중요한 과제인 것 같다.