확률 및 랜덤 변수, 확률(1)

확률

0. 집합

(1) mutually exclusive

A, B, C ... 등 여러 집합이 있을 때 그 집합들 간에 공통된 원소가 없는 경우에 그 집합들은 mutually exclusive(상호배타적)한다고 한다.

 

(2) collectively exhaustive

A, B, C ... 등 여러 집합이 있을 때 그 집합들 간의 합집합이 전체 집합인 경우에는 그 집합들은 collectively exhaustive한다고 한다.

 

(3) mutually exclusive하고 collectively exhaustive한 경우

집합 A, B, C가 있을 때 집합들 간에 공통된 원소가 없으며 그 집합들 간의 합집합이 전체 집합인 경우는 mutually exclusive하고 collectively exhaustive한다고 한다.

이때 그 집합은 파티션이라 한다.

 

1. 확률이란?

- 어떤 랜덤한 실험(Random experiments)에서 사건(Event)이 발생할 가능성을 나타내는 하나의 숫자이다.

 

1) 확률과 관련된 개념

(1) random experiments

- 동일한 조건에서 실험을 반복했을 때 그 실험의 결과가 미리 예측할 수 없는 경우 random experiments라 한다.

ex) 주사위 굴리기, 동전 던지기, 0과 1 사이의 랜덤한 숫자 선택하기

 

<동전 던지기 실험 예시>

- 절차(Procedure): 동전을 던져서 테이블 위에 동전을 놔둔다.

- 관찰(Observation): 동전이 멈췄을 때 동전의 어떤 면이 보이는지 확인한다.

- 모델(Model): 동전의 앞면과 뒷면이 나올 가능성은 각각 동일하고 이전에 던져서 나온 결과는 앞에 영향을 미치지 않는다.

 

(2) Outcome: random experiments의 결과는 outcome으로 정의한다.

 

(3) Sample Space: random experiments에서 나올 수 있는 outcome의 총 집합을 Sample Space(표본 공간)라고 한다.

 

<Sample Space 예시>

1, 동전 던지기 1회 실시

S(Sample Space) = {H(앞), T(뒷)}

 

2. 동전 던지기 3회 + H/T 순서를 기록

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

 

3. 동전 던지기 3회 + H가 몇 번 나오는지 기록

S = {0, 1, 2, 3}

 

 

(4) Event: 실험에서 어떤 특정한 현상이 관측되는 경우 Event(사건)라고 한다.

- 수학적 정의에선 어떤 실험의 결과들의 집합으로 정의한다.

 

<주사위를 던지고 눈을 기록하는 실험 예시>

- 짝수에 해당하는 실험 결과에 대한 모든 집합 A = {2, 4, 6} 에서 A는 짝수 눈이 나오는 Event이다.

- Event는 실험 결과들의 집합으로 표현하기에 Sample Space의 부분집합(subset)이기도 하다.

 

1. The event E1 = {주사위 눈이 4이상이 나오는 경우} = {4, 5, 6}

2. The event E2 = {주사위 눈이 짝수인 경우} = {2, 4, 6}

3. The event E3 = {주사위 눈이 정수의 제곱인 경우} = {1, 4}

 

- 이때 The event E1이 발생했다는 거는 실험의 결과가 4 또는 5 또는 6이 나온 경우를 의미한다.

- 만약 실험의 결과가 4가 나온 경우는 The event E1, E2, E3가 모두 발생했다는 의미이다.

 

 

 

<Event의 집합 연산자>

Event는 수학적으로 집합이기에 다양한 집합 연산자를 사용해 표현할 수 있다.

A Union B: 사건 A나 사건 B에 있는 경우에 발생하는 사건

A Cross B: 사건 A와 사건 B에 둘 다 있는 경우에 발생하는 사건

A Complement: 사건 A에 없는 경우 발생하는 사건