확률 및 랜덤변수 (3), 순차 확률

순차 확률

1. 순차 확률

1) Tree diagram

- 파티션을 이루는 사건들의 실험집합이 순차적으로 존재할 경우 가지를 그려가며 트리 형태로 문제를 해결하는 방법

ex)

풀이

 

 

2) Sampling

(1) Sampling without replacement

- 뽑은 것들은 다시 넣지 않기에 중복을 허용하지 않는 추출이라 할 수 있다.

- 이는 조합에 해당한다.

 

[조합 공식]

조합 공식

조합 예시

조합 예시

 

ex) 포커에서 7장을 뽑았는데 Queen이 없을 확률?

- 전제: 실험결과가 equally likely

S = {s1, s2, .... s} -> 52개

A = {Queen이 7장 안에 없다.}

P[A] = 사건  A의 실험 결과의 수 / 전체 S의 실험 결과의 수(전체의 경우의 수) = (48 4) (52 7)

 

[조합에 대한 확률 공식]

 

 

(2) Sampling with replacement

- 중복을 허용하기에 뽑은 것도 다시 뽑을 수 있다.

- 동일한 실험을 반복적으로 하는 반복시행의 경우 다음의 공식을 사용한다.

 

예시

- 비트를 열개를 뽑아서 만들 수 있는 경우의 수 = 2의 10승 = 1024

- 알파벳을 4번 뽑아서 만들 수 있는 경우의 수 = 26의 4승

 

 

 

예제)

이는 1이 다섯번 중에 세번 나온 경우와 동일하다.

이를 일반화한 공식은 다음과 같다.

 

- n개 중에 0개를 뽑는 경우의 수나 1개를 뽑는 경우의 수가 같기 때문에 위와 같은 공식을 사용할 수 있다.

- 만약 실험 결과가 n가지라면? 다음과 같은 일반화된 공식을 사용할 수 있다.

 

예시)

 

 

3) 독립 시행

- 2.6과 2.7 공식은 경우의 수를 얘기했다.

- 이전 실험의 결과와 현재 실험의 결과는 독립이고, 이를 반복적으로 시행하는 것을 독립 시행이라 한다.

 

예제) 5번 중에서 정상이 3회 불량이 2회일 확률은? 여기서 Pr[정상] = P

이때 하나의 패턴에서 해당 확률이 나오는 것이기에 다음과 같이 경우의 수를 고려할 수 있다.

 

이를 정리한 것이 확률 이론 2.8이다.

[독립 시행에 대한 확률 공식]

두 사건이 독립일 때 n번 중에 n1번 나올 가능성

- 독립시행이고 독립 시행을 구성하는 각각의 실험 결과가 두 가지인 경우에 위의 식을 사용할 수 있다.

 

예제) 

i가 21개로 가정

위의 공식을 사용해서 문제를 해결하면 된다.

 

예제)

 

 

 

독립인 사건이 2개가 아니라 여러개인 경우에는 다음과 같은 공식을 사용한다.

 

예제)

 

 

 

예제)

0.5의 세제곱이 생략되었다.