선형대수학 2-2. 부분집합

이전 포스팅에서 선형 독립에 대해 알아보았습니다. 이번 포스팅에서는 'subspace'(부분집합)에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

2020/12/19 - [Mathematics(수학)/Linear algebra(선형대수학)] - 선형대수학 1-1. 선형 회귀의 기본 구성요소

2020/12/20 - [Mathematics(수학)/Linear algebra(선형대수학)] - 선형대수학 1-2. 선형방정식

2020/12/21 - [Mathematics(수학)/Linear algebra(선형대수학)] - 선형대수학 1-3. 선형조합

2020/12/22 - [Mathematics(수학)/Linear algebra(선형대수학)] - 선형대수학 2-1. 선형 독립

 

참고 : K-Mooc, Mathematical Fundamentals for Data Science. 고려대학교

 

 

1. Subspace

subspace : '선형 조합에 닫혀있다는' 조건을 만족하는 R^n의 부분집합.
- closed(닫혀있다) : 같은 공간에 있는 벡터끼리 더하거나 곱해도 그 결과가 동일한 공간 내에 존재한다는 의미.

사실 subspace는 span의 개념과 동일하지만 중요한 개념이기 때문에 별도의 이름이 붙은 걸로 생각하시면 됩니다. 추가적으로 basis of subspace(subspace의 기저)라는 말을 종종 사용하는데요. 이는 다음 조건을 만족하는 vector set이라고 생각하시면 됩니다.

 

 

basis of a subspace의 조건

- Fully spans the given subspace

- Linearly independent (no redundancy)

 

 

이를 위해서 저번 포스팅에서 선형 독립에 대해 설명을 했었습니다. 짧게 설명을 드리자면 선형 독립이란 각 vector들의 span이 서로 겹치지 않고 독립적인 것을 말합니다. vector가 방향이나 차원을 가리킨다고 생각했을 때 서로 같은 방향성을 띄는 vector가 없다면 이는 선형 독립이라고 말할 수 있습니다.

 

 

지난 포스팅에서 들었던 예시를 다시 가져와보겠습니다. 

span {v1, v2}

위의 span에 x라는 vector가 추가되어 아래와 같이 H라는 subspace가 존재한다고 생각해볼게요.

 

이는 선형 종속적인 관계를 갖게 됩니다. H의 subspace 중 선형 독립적이면서 Fully span인 것을 찾으면 'span {v1, v2}'가 basis of subspace H인 것을 알 수 있습니다.

 

 

만약 같은 subspace안에 선형 독립인 다른 vector set이 존재하지 않는다면 이는 basis가 유일하다고 할 수 있습니다. 또한 다른 basis가 존재하더라도 basis 간의 vector의 개수는 unique 할 수밖에 없습니다. 왜냐하면 basis가 되기 위해선 fully span라는 조건이 있어야하기 때문에 최소한 하나 이상의 basis가 존재하고 basis 간에는 vector의 개수가 같을 수 밖에 없겠죠. 이를 차원(dimension)이라고 부릅니다. 

 

즉, H의 dimension은 2가 됩니다.

 

 

 

2. Column space

column space : 열을 기준으로 spanned 되는 subspace.

rank : column space의 차원

 

 

이전 포스팅들에서 확인했던 matrix와 vector의 관계를 생각하면 이해하기 쉽습니다. 각 열은 vector로 생각해볼 수 있다고 했었죠. 이 vector set의 subspace라고 생각하면 됩니다. 다만 이 또한 중요한 개념이어서 따로 지칭하는 거라고 생각하시면 됩니다.

column space도 결국에는 subspace이기 때문에 subspace의 성격을 지닙니다. 따라서 Column space 선형 조합에 닫혀있다는 조건을 만족한다는 특징을 가집니다.

 

 

Col A에서 세 번째 column에 있는 vector는 1번째 vector와 2번째 vector를 더해서 만든 vector입니다. 따라서 이는 선형 조합에 닫혀있다는 조건을 만족하지 못합니다. 결국 Col A는 다음과 같은 span을 가지게 됩니다.

 

이때 col A의 차원은 2차원이라고 할 수 있고, 차원은 곧 matrix A의 rank가 됩니다.